1.2.2.1 Metropolis Methode

Nach der Berechnung von $\Delta E$ wird mit Hilfe der Metropolis Methode entschieden, ob das Teilchen mit seinem Nachbarn den Gitterplatz tauschen darf.

Ist $\Delta E$ negativ, hat eine Energie-Abnahme nach dem Tausch statt gefunden. In diesem Fall wird immer getauscht. Ist $\Delta E$ größer oder gleich Null wird nach der Monte Carlo Methode entschieden, ob getauscht wird oder nicht. Dazu wird die Wahrscheinlichkeit $W$ für einen Tausch berechnet.

$$W = \begin{cases} e^{-\frac{\Delta E}{kT}} & \Delta E \geq 0 \\ 1 & \Delta E < 0 \\ \end{cases}$$

Es wird nun eine Zufallszahl zwischen 0 und 1 generiert, falls sie kleiner als der Boltzmann-Faktor $e^{-\frac{\Delta E}{kT}}$ ist, wird getauscht, ist sie größer wird nicht getauscht.

Der Metropolis-Algorithmus ist eine Monte Carlo Methode, die es ermöglicht, daß Tauschvorgänge stattfinden, welche die innere Energie des Gittergases erhöhen. In Abbildung 1.4 S.  sieht man den Grafen der Exponentialfunktion $f(\Delta E) = e^{-\frac{\Delta E}{kT}}$. Der Wert von $\Delta E$ legt die Position auf der $x$-Achse fest. Die Position auf der $y$-Achse wird durch eine Zufallszahl zwischen Null und Eins bestimmt. Aus diesen beiden Werten erhält man einen Punkt mit den Koordinaten $x=\Delta E$ und $y=random(0...1)$. Der Verlauf der Exponentialfunktion beschreibt die obere Grenze, wo dieser Punkt noch als ``Treffer`` gewertet wird.

$W$ ist die Wahrscheinlichkeit mit der ein Treffer erzielt werden kann. Betrachtet man den Grafen ausgehend von $\Delta E=0$ bis $-\infty$, nimmt $W$ exponentiell ab. Für sehr kleine $\Delta E$ ist es fast unwahrscheinlich, daß ein solcher Punkt unterhalb der Exponentialfunktion liegt. Ist $\Delta E$ nahe Null, ist $W$ sehr hoch.

Die Größe der Energieänderung hängt wiederum von der Größe der Wechselwirkungskonstanten ab. Ein Beispiel an dem man diese Abhängigkeit gut erläutern kann, ist die flüssig-flüssig Phasengrenze, die anschließend vorgestellt wird.

Abbildung 1.4: Exponentialfunktion