1.1.1 Berechnung der Zahl $\pi$

Um mit der Monte Carlo Methode $\pi$ zu berechnen, betrachtet man einen Kreis, der von einem Quadrat umgeben ist, welches den Kreisdurchmesser als Kantenlänge hat. Zu Vereinfachung der Berechnung wird nur ein Viertel des Quadrates untersucht (siehe Abb. 1.1 S. ). Die Kantenlänge des Quadratviertels beträgt so genau $r$.

Man setzt Punkte in das Quadratviertel, deren Koordinaten zufällig gewählt wurden. Bei einer ausreichenden Anzahl an Zufallspunkten stellt sich folgendes Verhältnis ein:

$$\frac{\text{\small Punkte die auf der Kreisfl\uml {a}che liegen}}... ... = \frac{\text{\small Kreisfl\uml {a}che}}{\text{\small Quadratf\uml {a}che}}$$

$$$$

Die Fläche des Kreises lässt sich aus $\pi r^2$ errechnen, für ein Viertel gilt $1/4\pi r^2$. Folgendes Verhältnis gilt:

$$\frac{\text{\small Punkte die auf der Kreisfl\uml {a}che liegen}}{\text{\small Alle Punkte}} \ = \frac{1/4\pi r^2}{r^2} = 1/4 \pi$$

$$$$

Die Gleichung lässt sich nach $\pi$ umformen:

$$\pi = 4 \cdot \frac{\text{\small Punkte die auf der Kreisfl\uml {a}che liegen}}{\text{\small Alle Punkte}}$$

$$$$

Abbildung: Kreisfläche (a) und Fläche des ausgeschnittenen Kreisviertels (b)

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Dieses Verfahren lässt sich sehr leicht in einem kleinen Programm realisieren. Dazu muß man eine Schleife konstruieren, welche eine festgelegte Anzahl von Schritten durchläuft. Bei jedem Schritt wird ein Zufallspunkt mit den Koordinaten $x$ und $y$ generiert. Um die Rechnung möglichst einfach zu machen, gibt man dem Radius $r$ den Wert Eins. Also darf $x$ bzw. $y$ nur einen Wert im Bereich zwischen Null und Eins annehmen.

Die meisten Zufallsgeneratoren liefern standardmäßig nur Zahlen zwischen Null und Eins. Ob der Punkt auf der Kreisfläche liegt, lässt sich mit Hilfe des Satzes von Pythagoras ausrechnen:

$$\sqrt{x^2 + y^2} =$$   Entfernung zum Kreismittelpunkt$$$$

Ist die Entfernung zum Kreismittelpunkt größer als der Radius, liegt der Punkt außerhalb der Kreisfläche. Jeder Punkt der die Kreisfläche trifft wird mit einem Zähler mitgezählt. Das Java-Programm mc_pi.java berechnet auf diese Wiese $\pi$.

Je mehr Berechnungsschritte verwendet werden, um so genauer ist das Ergebnis:

Tabelle 1.1: Ergebnisse der Monte Carlo Integration zur Berechnung von $\pi$

Monte Carlo Schritte	davon Treffer	Ergebnis ($\pi$)
10	7	2.8
100	74	2.96
1000	784	3.136
10000	7839	3.1356
100000	78577	3.14308
1000000	785892	3.143568

mc_pi.java